Ecuaciones de segundo grado

Hace mucho tiempo prometí a mis alumnos de 2º de la ESO que les explicaría por qué era así la famosa fórmula de resolución de ecuaciones de segundo grado, sabía que estaba prometiendo algo difícil de cumplir.
No, no es nada que cualquier alumno de 3º de la ESO no pueda entender pero, tal vez, sí sea pronto en 2º. De hecho, hoy lo he explicado en 1º de Bachillerato de Ciencias.
No sé cuando debería explicarse pero, les aseguro, que es un verdadero anacronismo que enseñemos a solucionar ecuaciones de 2º grado y que nuestros alumnos terminen con el mismo misterio con el que todos nosotros acabamos. El milagro se escribe así:
$$ Si \, ax^2+bx+c=0 $$
$$  entonces: \, x=\frac{−b±\sqrt{b^2−4ac}}{2a}$$
Pocos no recuerdan haber estudiado esto. Unos pocos menos son los que se acuerdan de la fórmula en si. Casi nadie la ha usado nunca en su vida fuera de la escuela.

Por ello ahora es muy fácil escuchar estupideces de pedagogos que no entendieron nunca nada de matemáticas, afirmando que matemáticas las explica cualquiera.
Claro que tal vez los propios profesores de matemáticas somos los que les damos la razón si lo que hay que hacer para enseñar matemáticas es escribir la fórmula anterior en la pizarra y, ¡venga!, a resolver ecuaciones como autómatas programables.
Tal vez tenga que pedirles perdón a los pedagogos si ellos aprendieron las matemáticas así. Pero pensándolo mejor, si son pedagogos quizá debamos suponer que eso significa algo y que, han aprendido realmente lo que se debe hacer al dar clase y enseñar aunque a ellos nunca les enseñaran adecuadamente las matemáticas.

Mi reto es aquí, no explicar la fórmula en sí, sino resolver ecuaciones de segundo grado sin fórmula ninguna. Sólo razonando con operaciones elementales de las que, hasta los pedagogos deberían haber aprendido en la escuela y usado después en su vida diaria.

Aquí va un ejemplo sencillo: \( x^2−6x+5=0 \)

Vamos a intentar “completar un cuadrado”, técnica muy socorrida en matemáticas y que tiene mucho que ver con esas “igualdades notables”, tal vez aprendidas, olvidadas y no entendidas:
$$ (x−⊙)^2=x^2−2x⊙+⊙^2 $$
comparemos patrones:
$$ x^2−6x+5=0 $$
No es difícil concluir que para que: \(⊙=6\) , tenemos que hacer: \( ⊙=\frac{6}{2}=3 \)
Con ello:
$$(x−3)^2=x^2−6x+9 $$
$$ x^2−6x+5=(x−3)^2−9+5=(x−3)^2−4$$
Ahora si que lo tengo fácil porque lo que hemos concluido es que, resolver la ecuación de partida:
\(x^2−6x–2=0\), es lo mismo que resolver esta otra:\( (x−3)^2−4=0 \)
Y eso para mí es coser y cantar:
$$ (x−3)^2−4=0 $$
$$(x−3)^2=4$$
$$\sqrt{(x−3)^2}= ±2$$
$$ x-3 = ±2 $$
$$x=\left\{ \begin{array}{m1} 2+3=5 \\ ó \\ −2+3=1 \end{array}\right. $$
Prueba con la fórmula y me apuesto lo que quieras a que te da lo mismo
En otra ocasión os diré algún momento en la vida en el que vendría muy bien saber resolver ecuaciones de segundo grado. Os aseguro que los hay, y muchos. Aunque quien no sepa, nunca los encontrará.
Sirva como ejemplo lo útil que es hablar y entender chino. Aunque quien no sepa, nunca entenderá ni será capaz de hablar con alguien que sólo hable chino … Pero siempre queda el consuelo de decir que eso no sirve de nada y que, mejor que aprenda el chino a hablar en español.