¿Los números Irracionales?

Una cosa es el número y otra muy distinta la manera de representarlo.

“Mi abuelo sabía de lo que hablaba cuando afirmaba que tres cuartos  más tres cuartos siempre fueron 3 mitades”
¿Qué importa si lo represento:

  • Así   :    \( \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \)
  • O así: 0’75 + 0’75?

“Todo ladrón que haya pertenecido a la banda del trío sabe que un tercio más la mitad de un tercio es un medio”
¿Qué importa si lo represento:

  • Así   : \( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \, \frac{1}{3} \)
  • O así: \( 0’\widehat{3}+ 0’5 · 0’\widehat{3} \)  ?

Ninguno de ellos tuvo Sobresaliente en Matemáticas, ni tan siquiera Notable,  pero sabían de lo que hablaban…
Sólo si cuando ves un número, éste significa algo para ti,  estarás aprendiendo o habrás aprendido. Así que, probablemente, nunca entendiste lo que es un número irracional y, tal vez, tampoco un número racional


La historia de los números irracionales se remonta, al menos, al siglo VI antes de Cristo. Por entonces estaban en la faz de la tierra los Pitagóricos o seguidores de Pitágoras de Samos.

Para los Pitagóricos, todo en el Universo era número y los números sólo podían ser números enteros positivos (entonces no se manejaba ni el 0 ni los números negativos). Pero, obviamente, también tenían muy clara la idea de “razón  (cociente, o más bien, relación entre dos números enteros)”. Una razón entre dos números enteros \( \frac{a}{b} \) es, en realidad la cantidad de veces a que coincide exactamente con una cantidad de veces b:
$$ \frac{a}{b} = \frac{m}{n} \Rightarrow n·a = m· b$$

La notación decimal aún  tardaría en aparecer en el mundo unos cuantos siglos y, para que esta notación llegara a Europa deberían pasar todavía unos 1900 años. Y, sin embargo, para su desgracia, los Pitagóricos descubrieron que había “números irracionales”, es decir, aquellos que no se podían escribir de ninguna manera como  “una razón”.

Es obvio que en la escuela Pitagórica no podían definir los números racionales tal y como se hace hoy en la escuela desastrosa de este mundo civilizado: “un número irracional es el que tiene infinitos decimales y no tiene periodo”. ¡Si no se habían inventado los decimales!

Los Pitagóricos hablaban de números inconmensurables y, cuando descubrieron que había cantidades de este tipo, sus cimientos científicos y filosóficos se tambalearon. Ellos entendían de qué hablaban y, esas cantidades inconmensurables no les parecían naturales. Hoy hablamos de números irracionales;  podría ser porque no hay forma de que “entre en la mente humana”, pero no es así. Su nombre se debe a que no pueden expresarse en forma de razón (i-racional).


¿Qué es una cantidad inconmesurable, si aún no se han inventado los decimales?

  • Dibuja un segmento u en un papel en blanco de una longitud cualquiera para que haga las veces de una unidad. Da igual cómo. Esa será tu longitud 1: ****
  • Dibuja ahora otro segmento a de otra longitud arbitraria. Puede ser más grande o más pequeño que la unidad. Nosotros, para poner un ejemplo, lo representaremos más grande: ******
  • Intentemos ahora “medir el segmento a “.
    Como deberías saber, medir algo es compararlo con una unidad
  • Para medir algo mediante una unidad tenemos dos estrategias sencillas:
    • La manera habitual en el mundo real:
      Comparar la cosa a medir con la unidad y, si no obtenemos un número entero de unidades, trocear la unidad en fracciones más pequeñas hasta conseguir un pedazo conocido de la unidad que rellene lo que nos falta (mitades, terceras partes, décimas partes, … de unidad)En nuestro caso es evidente que:
      $$ a = 1 + \frac{1}{2} \, \text{veces la unidad} $$
    • En el mundo de las ideas cabe otra estrategia tan interesante o más que la anterior, pero que llevarla al mundo real suele ser más complicado. La estrategia que considera una razón como era vista por los Pitagóricos:
      Amontonar unidades por un lado y amontonar objetos iguales al que vamos a medir por otro lado, hasta que ambos montones sean iguales.
      Por Ejemplo:
      1u : ****
      Objeto a: ******
      Entonces: 3u = 2a luego , \( a = \frac{3}{2} u \)En general, concluiríamos que, si hemos necesitado n unidades para igualar con m objetos
      $$ m · a = n · u \Rightarrow m · a = n · 1 \Rightarrow a = \frac{n}{m} · u $$Hemos medido a y así vemos que a es un número racional de unidades.

Quizá no hayas visto todavía el misterio, pero resulta que, dada una unidad, hay muchos objetos a que no son medibles. Es decir, que por mucho que acumules unidades por un sitio y objetos por otro, jamás tendrás dos montones iguales.
Los Pitagóricos observaron esto, tal vez, construyendo un cuadrado de lado 1 unidad y comprobando que la diagonal de ese cuadrado es un objeto inmedible o inconmensurable

¿Por qué \( \sqrt{2} \) es inconmensurable?

Hay muchas demostraciones de la irracionalidad de \( \sqrt{2} \), os voy a poner aquí dos enlaces en las que podéis consultar algunas. Por supuesto que uno de los enlaces es Wikipedia, pero el otro es un blog interesantísimo sobre matemáticas (Gaussianos) :