Uno de los conceptos más difíciles de entender en las matemáticas estudiantiles actuales es el de logaritmo. Esta dificultad se acrecienta cuando lo único que enseñamos a nuestros alumnos de los logaritmos es «pura algoritmia» de cáculo sin mucha noción de comprensión.
Por otro lado, el avance para el cálculo y para la ciencia que supuso «la estrategia de los logaritmos», ha dejado de tener sentido desde el advenimiento de las máquinas que calculan.

Pincha en la imagen y mira un libro real de tablas de logaritmos

Porque:

• Los logaritmos se desarrollaron como una herramienta para hacer de forma más eficiente las multiplicaciones, las divisiones y la extracción de radicales cuando nos enfrentábamos a números muy grandes o, números con muchos decimales.
• «El logaritmo» transforma un producto en una suma , un cociente en una resta, una potencia en una multiplicación sencilla y una raíz en una división sencilla.
• Se usaban tablas que permitía obtener el logaritmo de cada número con una buena aproximación y, el proceso inverso, es decir, sabiendo el logaritmo, determinar el número al que le correspondía.

Cualquier estudiante de hace años que quisiese hacer una multiplicación como esta …

1. Puedo hacer las multiplicación sin decimales:
   $$0’00000012 · 0’00000025 \,= \\
   12· 10^{-8}·25· 10^{-8} \, = \\
   12·25· 10^{-8}· 10^{-8} \,= \\
   12·25· 10^{-16} $$

   En este caso preparado, la operación no necesita calculadora y, cuando lo entiendo y lo manejo con soltura, tardo menos en hacer esto que teclear en la máquina.
2. Las tablas de logaritmos (en base 10) que se usaban no incluían todos los números del mundo mundial, porque si tenían el logaritmo de 12 y el logaritmo de 25 los antiguos estudiantes sabían perfectamente que:
   $$ \log(0’0000012) = \log(12· 10^{-8})= \\
   \log(12) \,· \, \log(10^{-8}) \, = \, \log(12) \, – \, 8 $$
3. Como \( \log( a · b) = \log(a) + \log(b) \)$$ \log(12 · 25 · 10^{-16}) \, = \, \log(12)+\log(25)+(-16)$$
4. Ahora habría que buscar en nuestro libro de las tablas de logaritmos log(12) , log(25) y sumar para obtener:
   2’47712125
5. Por último, buscando en nuestro libro de tablas la inversa del logaritmo, llamado antilogaritmo aunque en realidad es una exponencial de base 10:
   $$ 10^{2’47712125} $$
   Considerando que aquí todo alumno tenía que tener claro el concepto de interpolación, que lo más probable es que en nuestras tablas no apareciese el número 247712125 (observa que está sin decimales) sino que puede que estuviera 24771 y 24772, llegaríamos a la conclusión de que:

   $$ 10^{2’47712125} \, = \, 300 \, aproximadamente.$$

6. Por último, recomponiendo todo, concluimos:
   $$ 0’0000012 \ · \, 0’000025 \, = \\
   12 \,· \, 10^{-8} \,· \, 25 \, · \, 10^{-8} \, = \\
   12 \,· \, 25 \,· \, 10^{-8} \,· \, 10^{-8} \, = \\
   12 \,· \, 25 \, · \, 10^{-16} \, = \\
   10^{\log(12 \,· \,25)} \, · \, 10^{-16}=
   300 \,· \, 10^{-16} \, = \\
   3 \,· \,10^{-14} $$
7. Pero lo más importante es que todo estudiante de hace tiempo sabía que esta multiplicación debía hacerla empezando por el punto 1 anterior y, después, se hace mucho antes y de forma más precisa multiplicando a mano 12 · 25 = 300. Y cualquier estudiante de hoy, sin calculadora, se vería en un verdadero aprieto para hacer estos cálculos

Para una explicación más detallada de cómo y para qué nacieron los logaritmos, te aconsejo que leas las 13 primeras páginas del libro que aparece arriba. No tienes mas que pinchar sobre la imagen y te llevará al libro completo. Incluso puedes descargarlo a tu ordendor en PDF.
En esas 13 páginas te ilustra el proceso de cálculo y te permitirá hacer reflexiones sobre las propiedades de los logaritmos así como probarte a tí mismo en cuanto a «comprensión lectora» con un concepto no muy trivial.

La utilidad fundamental de los logaritmos en aplicaciones habituales de tu entorno se resumen en un principo: manejar escalas logarítmicas, es decir, reducir a sumas los productos o a productos las potencias.

• Cuando queremos comparar cosas extremadamente grandes con cosas extremadamente pequeñas: por ejemplo: los tamaños de seres microscópicos junto con el tamaño de los seres vivos más grandes.
• Cuando manejamos fórmulas de interés compuesto en las que los exponentes aparecen de manera habitual.
• Cuando hablamos del PH , que es una concentración media según una escala logarítmica.
• Cuando medimos la intensidad de los terremotos de acuerdo a la escala Richter.
• Cuando hablamos del brillo de las estrellas (magnitud aparente).
• La intensidad del sonido (Decibelios) también es una escala logarítmica.