El interés simple y compuesto y las progresiones

Interés simple

Hablamos de interés simple cuando el rendimiento que nos produce una cierta inversión sólo depende de la cantidad inicial de capital invertido. Los intereses que se van produciendo a lo largo del proceso no entran en el juego de generar nuevos beneficios.

Imaginemos que Tenemos un capital inicial : C

Lo invertimos con una tasa de interés simple de r por cada periodo de tiempo (p.ej.: 3% cada año)

Lo vamos a tener en la inversión durante un conjunto de periodos de tiempo : t  (p. ej.: 5 años)

  1. Llamemos \( a_{1} = C \) a la cantidad inicial de dinero invertido.
  2. Después del primer periodo de tiempo, justo antes de comenzar el segundo periodo, tendremos un montante de:  \( C + r · C \), pero el capital inicial queda retenido en la inversión, produciendo intereses durante más periodos de tiempo, mientras que los beneficios de ese primer periodo temporal \( r · C \), pasan a nuestro bolsillo.
    $$ a_{2} = C + r·C = C + r C $$
  3. Después del segundo periodo de tiempo, justo antes de comenzar el tercero, tendremos un montante de:  \( C + r · C + r· C \), pero el capital inicial queda retenido en la inversión, produciendo intereses durante más periodos de tiempo, los beneficios del primer periodo temporal \( r · C \) ya estaban en nuestro poder y, ahora, obtenemos los beneficios de un nuevo periodo temporal:  \( r · C \).
    Hasta este momento tenemos pues, llamando \( a_{3} \) a esa cantidad:
    $$ a_{3} = C + r·C + r·C = C + 2 r C $$
  4. Pasado un nuevo periodo de tiempo es resultado será:
    $$ a_{4} = C + r·C + r·C + r·C= C + 3 r C $$
  5. Sucesivamente, después de n-1 periodos de tiempo el resultado será:
    $$ a_{n} = C + \left(n-1\right) r C $$
  6. En definitiva, hemos construido una secuencia de números de manera que, para pasar de uno al siguiente, hay que sumar siempre una misma cantidad: \( d = rC \).
    $$ \left\{a_{n}\right\} = C, C + d , C+ 2d, C+ 3d, …, C+(n-1) d, … $$
    O, lo que en matemáticas llamamos, una progresión aritmética

Podemos observar que, al llamar \(a_{1}\) a la cantidad inicial de dinero invertido, parece haber un desfase terminológico porque \(a_{1}\) no es la cantidad de dinero que tenemos después del primer periodo de tiempo.
Por ello es muy normal que, al hablar de Interés, llamamemos \(a_{0} = C\)
Y así, el importe acumulado después de n periodos temporales será:
$$ a_{n} = C + n \; ·\, rC $$

En el caso del 3% anual de interés simple a 5 años habremos concluido que, al final de los 5 periodos hemos obtenido:

$$ a_{5} = C + 5 \; ·\, rC, \text{considerando que llamamos } a_{0} = C , a_{n} \text{ a lo que tenemos después de n años}$$


Interés compuesto

Hablamos de interés compuesto cuando el rendimiento que nos produce una cierta inversión NO sólo depende de la cantidad inicial de capital invertido. Los intereses que se van produciendo a lo largo del proceso, entran en el juego de generar nuevos beneficios, a partir del momento en que se generan.
Imaginemos que Tenemos un capital inicial : C

Lo invertimos con una tasa de interés compuesto de r por cada periodo de tiempo (p.ej.: 3% cada año)

Lo vamos a tener en la inversión durante un conjunto de periodos de tiempo : t  (p. ej.: 5 años)

  1. Llamemos \( a_{1} = C \) a la cantidad inicial de dinero invertido.
  2. Después del primer periodo de tiempo, justo antes de comenzar el segundo periodo, tendremos un montante de:  \( C + r · C \), pero, tanto el capital inicial como los intereses generados, quedan retenidos en la inversión produciendo intereses durante más periodos de tiempo.
    $$ a_{2} = C + r·C = C\left(1+r\right) $$
  3. Después del segundo periodo de tiempo, justo antes de comenzar el tercero, tendremos un montante de:  $$ a_{3} = a_{2} + r · a_{2} = a_{2} · \left(1+r\right) = C\left(1+r\right) · C\left(1+r\right) = C\left(1+r\right)^2 $$
    Pero ahora, todo ese dinero queda retenido en la inversión produciendo intereses durante más periodos de tiempo
  4. Pasado un nuevo periodo de tiempo es resultado será:
    $$ a_{4} = a_{3} + r·a_{3}= a_{3} · \left(1+r\right) = C\left(1+r\right)^2 · C\left(1+r\right) = C\left(1+r\right)^3 $$
  5. Sucesivamente, después de n periodos de tiempo el resultado será:
    $$ a_{n} = C + \left(n-1\right) r C $$
  6. En definitiva, hemos construido una secuencia de números de manera que, para pasar de uno al siguiente, hay que multiplicar siempre por la misma cantidad: \( \left(1+r \right) \).
    $$ \left\{a_{n}\right\} = C, C · \left(1+r \right) , C ·\left(1+r \right)^2 , C · \left(1+r \right)^3 , …, C · \left(1+r \right)^{(n-1)} , … $$
    O, lo que en matemáticas llamamos, una progresión geométrica

Como en el caso del interés simple, al llamar \(a_{1}\) a la cantidad inicial de dinero invertido, parece haber un desfase terminológico porque \(a_{1}\) no es la cantidad de dinero que tenemos después del primer periodo de tiempo.
Por ello es muy normal que, al hablar de Interés, llamamemos \(a_{0} = C\)
Y así, el importe acumulado después de n periodos temporales será:
$$ a_{n} = C · \left(1+r \right)^n $$

En el caso del 3% anual de interés compuesto a 5 años habremos concluido que, al final de los 5 periodos hemos obtenido:

$$ a_{6} = C · \left(1+r \right)^5 , \text{habiendo llamado } a_{0} = C , a_{n} \text{ a lo que tenemos después de n años}$$