El origen del número e

Parece ser que, la primera aproximación al número e se la debemos a Jacob Bernouilli  (uno de los ilustres matemáticos de la prolífica familia Bernouilli) tratando un asunto relacionado con el interés compuesto.

Curiosamente, el nombre asignado a este famoso número, es en honor a Leonard Euler, el cual definió el número  de otra forma diferente a la que hemos indicado.

Pero esta entrada pretende explicar cómo es posible que la idea de interés compuesto nos lleve al número e. Así que, veamos el vídeo de Adrian Paenza y sigamos las explicaciones de debajo. Si no estás familiarizado con el interés compuesto, tal vez debas leer primero:

Interés simple y compuesto y las progresiones

 

  1. Si tenemos un Capital inical C y lo colocamos a un 100% de interés compuesto anual, tendremos que, al final del año hemos obtenido: $$ C + 100\% \, C = C (1+ 100\%) = C (1+1) = 2C $$
  2. Si sacamos el Capital inicial y los intereses a los seis meses, e inmediatamente lo volvemos a poner al mismo interés durante otros seis meses,  tendremos:
    $$ C \, \left( 1 + \frac{100\%}{2} \right)^2 = C \, \left( 1 + \frac{1}{2} \right)^2 $$
  3. Si ahora sacamos el dinero y lo volvemos a colocar, pero cada trimestre,  tendremos:
    $$ C \, \left( 1 + \frac{100\%}{4} \right)^4 = C \, \left( 1 + \frac{1}{4} \right)^4 $$
  4. Si repetimos el proceso pero dividiendo el año en n periodos iguales de tiempo:
    $$ C \, \left( 1 + \frac{100\%}{n} \right)^n = C \, \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n $$
  5. Basta tomar un calculadora o abrir una hoja de cálculo para observar:
    $$ \left( 1 + \frac{1}{2} \right)^2 \, = 2’25 \\
    \left( 1 + \frac{1}{3} \right)^3 \, \approx \, 2’037037\\
    \left( 1 + \frac{1}{4} \right)^4 \, \approx \, 2’441406\\

    \\
    \left( 1 + \frac{1}{10} \right)^{10} \, \approx \, 2’503742
    \\

    \\
    \left( 1 + \frac{1}{1000} \right)^{1000} \, \approx \, 2’716924 \\

    \\
    \left( 1 + \frac{1}{10000} \right)^{10000} \, \approx \, 2’718146\\

    $$
  6. Así que, cuando n se hace cada vez más grande, el valor de \( \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \), va acercándose a un valor que parece ser algo así como: 2’718281828459… , al que le hemos dado el nombre de número e.
  7. Por eso nos cuentan en el insituto que:
    $$ \lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \, = \, e $$ .