La locura del infinito, el chorizo y los dientes del Lazarillo de Tormes

La Locura del infinito

George Cantor es el padre de los números transfinitos, eufemismo matemático para hablar de algo así como números que representen cantidades que van más allá de lo finito.

¡Ah, el infinito! ¿Qué infinito?

Sí, porque esa es la idea. Hay muchos tamaños de infinito y, por eso hablamos de “distintos números transfinitos”.  A esos números los denotamos con la letra griega \( \aleph \) (aleph) y, así hablamos de una secuencia de infinitos: \( \aleph_{0} , \aleph_{1}, \aleph_{2},… \).

No hay que ser un gran matemático para saber esto. Jorge Luis Borges (otro Jorge como Cantor) lo tenía muy claro; por eso escribió un cuento muy famoso,  “El Aleph”. Claro que Borges no era matemático, pero le gustaban las matemáticas y hay muchos guiños a la ciencia en general y a la matemática en particular en su obra.

  • Decimos que los números naturales son infinitos, pero en realidad, los que entienden un poco de esto te dirán que son \( \aleph_{0} \)
  • Decimos que los números reales son infinitos pero, sólo el que entiende un poco más sabe que este infinito es mucho mayor que el de los naturales. Osea, que hay muchos más números reales que naturales. De hecho los reales son \( \aleph_{1} \)

NO, no corras tanto, que no estoy seguro que lo hayas entendido:

  • En primer lugar, imagina que no supieses contar y que te mandasen comparar dos cantidades de cosas, por ejemplo, un rebaño de ovejas y otro de cabras. ¿Dónde hay más?

    George Cantor lo tenía claro y Daiana también. De hecho le he llamado Daiana Cantor…:

    Vamos emparejando ovejas y cabras una a una y, si me sobran ovejas, había más ovejas, si me sobran cabras, había más cabras.
  • Ahora te pregunto: ¿Hay más números enteros positivos o más números enteros pares?

    Si has contestado que igual número de uno que de otro, lo has entendido. Si has contestado que hay más números enteros positivos, aún tienes que seguir pensando.Apliquemos la idea del que no sabe contar, o del que no puede. Porque si hay infinitos, ¿quién puede contarlos?

    ¿Podemos emparejar un número de un lado con otro del otro sin que nos falte ninguno?

    La respuesta es SI:1 y 2 , 2 y 4 , 3 y 6 , 4 y 8, …

    Así no me sobra ninguno de un lado ni de otro.Si te has planteado que tú los puedes emparejar de otra manera y te sobran de uno de los sitios, habrás descubierto la dificultad del proceso. Tú no sabes emparejarlos para que no te sobre ninguno pero tal vez alguien sí. Así que, cuando afirmes que algo no se puede hacer, sé un poco más modesto y empieza por decir que tú no sabes hacerlo o, por el contrario, demuestra que es imposible.

Fíjate bien. Algunas de las cosas que vas a leer ahora puede que las entiendas y otras no pero, te aseguro que son ciertas:

  • La cantidad de números Naturales (solo positivos con el 0 o sin él) es \( \aleph_{0} \)
  • La cantidad de números Enteros (positivos y negativos) es \( \aleph_{0} \)
  • La cantidad de números Racionales (fracciones de números enteros) es \( \aleph_{0} \)
  • La cantidad de números Reales es \( \aleph_{1} \)
  • La cantidad de números Irracionales es es \( \aleph_{1} \)

Termino esta parte haciéndote notar que hablar del infinito es hablar de magia y que no hay un solo infinito sino muchos distintos y  algunos más grandes que otros.

¿ … Y el chorizo?

¿Te has enterado de que si tienes un saco de \( \aleph_{0} \) números 3 y sacas alguno del saco te quedan dentro los mismos que al principio? ¿No es esto magia?

Tenemos un montón de cosas y, si quitamos unas cuantas, siguen quedando las mismas que al principio. Pues ya está lo del chorizo….

Imagina un trozo de chorizo del que tu pudieras ir quitando pedacitos y pedacitos y siempre quedase lo mismo que al principio. Un simple trozo de chorizo de longitud \( \aleph_{0} \). Tu madre, nunca se enteraría de que te estás comiendo el chorizo porque siempre quedaría la misma cantidad.

¿ … Y los dientes del Lazarillo de Tormes?

Si no has leído El Lazarillo de Tormes, te lo recomiendo (El enlace te lleva a la biblioteca Cervantes Virtual).

Pues en su tratado primero, en el que “cuenta Lázaro su vida y cúyo hijo fue”, tenemos dos ocasiones en las que  \( \aleph_{0} \) hubiera librado a Lázaro de males mayores:

  • Si el jarro de vino al que Lázaro hace un agujero para “sisarle” vino a su amo el ciego, hubiera contenido  \( \aleph_{0} \) litros de vino, el ciego nunca lo hubiera notado y no le huiese estampado el jarro en la cabeza rompiéndole los dientes y la cara.
  • Si el racimo de uva que compartían el ciego y Lázaro hubiera tenido  \( \aleph_{0} \) granos de uva, a ninguno le hubiera importado que el otro las comiera de dos en dos o tres en tres, no tanto por el hecho de que había de sobra cuanto por el hecho de que, de una en una, de dos en dos o de tres en tres, sin parar nunca, acabas comiendo la misma cantidad.