¿Por qué \( 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \)?

¿No me digas que no te los has preguntado nunca?

Bueno, si ya lo sé que no lo has hecho, no me vas a engañar. Y, obviamente, mucho menos se lo has preguntado a tu profesor …¿cualquiera se atreve?

Comenzando con potencias en la estupidez de la escuela

Recordemos:
$$ a^n \text{es una forma abreviada de escribir:} \, \underbrace{a·a·a· \dots · a}_{n veces} \\
3^5 \text{es una forma abreviada de escribir:} \, 3·3·3·3·3 $$

Ahora, sígueme un poquito pensando, por favor:

  • ¿Cuánto es \( 3^7 · 3^8 \, \) ?
    Si no te hubiesen enseñando la “idiotez” de sumar exponentes, tú mismo hubieses descubierto la regla, con la diferencia de que, entonces, sabrías lo que hacías:
    $$ 3^5 · 3^7 = \underbrace{3·3 \dots 3}_{7 veces} · \underbrace{3·3 \dots 3}_{8 veces} = \underbrace{3·3 \dots 3}_{15 veces} = 3^{15} $$
  • ¿Cuánto es \( \frac{3^{12}}{{3^8}} \, \) ?
    Si no te hubiesen enseñando la “idiotez” de restar exponentes, tú mismo hubieses descubierto la regla, con la diferencia de que, entonces, sabrías lo que hacías:
    $$ \require{cancel} \frac{3^{15}}{{3^8}} = \frac{\underbrace{3·3 \dots 3}_{15 veces}}{\underbrace{3·3 \dots 3}_{8 veces}} = \frac{\underbrace{\cancel{3}·\cancel{3} \dots \cancel{3}}_{8 veces}·\underbrace{3·3 \dots 3}_{7 veces}}{\underbrace{\cancel{3}·\cancel{3} \dots \cancel{3}}_{8 veces}} = \underbrace{3·3 \dots 3}_{7 veces} = 3^7$$
  • ¿Cuánto es \( \left(3^8\right)^7 \) ?
    Si no te hubiesen enseñando la “idiotez” de multiplicar exponentes, tú mismo hubieses descubierto la regla, con la diferencia de que, entonces, sabrías lo que hacías:
    $$ \left(3^8\right)^7 = \underbrace{3^8·3^8 \dots 3^8}_{7 veces} = \underbrace{\underbrace{3·3 \dots 3}_{8 veces} \dots \underbrace{3·3 \dots 3}_{8 veces} }_{7 veces} = \underbrace{3·3 \dots 3}_{56 veces} = 3^{56}$$
  • Pero el error está ya cometido y tú te aprendiste las reglas sin pensar en lo que hacías. Así que no será nada raro que cuando te encuentres \( \frac{3^7}{3^7} \) se te ocurra la brillante idea de hacer:
    $$ \frac{3^7}{3^7} = 3^{7-7} = 3^0 $$
    Y se te quede cara de pez porque esto, con la definición de potencia en la mano, no significa nada.Pero aquí viene el sentido común al rescate. Cualquiera que pensase en vez de aprenderse reglas y más reglas que luego olvidará. se hubiera dado cuenta de que: \( \frac{3^7}{3^7} = 1 \).¡Eureka! Para que a los zoquetes como tú les funcione su regla y no se le rompan los esquemas, vamos a decir que: \( 3^0 = 1 \).Ojalá fuera solo así de fácil, pero desde luego, esta es la causa inicial. Ahora además, esta nueva notación de \( 3^0 = 1 \) debe ser consistente en los demás contextos. Eso no lo voy a comprobar ahora, pero te aseguro que eso es lo importante. Es consistente, no solo con la maldita regla de restar exponentes sino con muchas otras cosas. Conclusión:

    \( a^0 = 1 \text{ siempre que } a \neq 0 \), porque funciona.


    Si has entendido el proceso también serás capaz de deducir tú mismo que esto, cuando \(a=0 \), no tiene sentido.

  • Piensa un poquito en la misma línea y entenderás por qué \( 3^{-1} = \frac{1}{3} \)

Ha llegado el momento de los exponentes fraccionarios

Estaría bien que empezásemos por entender lo que significa una raíz …
$$ \sqrt{2} \, \text{ es un número que elevado al cuadrado me da 2}. \sqrt{2} = a \Rightarrow a^2 = 2 \\
\sqrt[5]{2} \, \text{ es un número que elevado a 5 me da 2}. \sqrt[5]{2} = b \Rightarrow b^5 = 2$$

Volvamos a hora a las estúpidas reglas que has aprendido de memoria y recapitulemos:

  • Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes

    Imaginemos que se me ocurre poner \( 3^{\frac{1}{2}} · 3^{\frac{1}{2}} \) que, en principio, es dudoso que signifique algo. Pero como no pienso y solo aplico las reglas …
    $$ 3^{\frac{1}{2}} · 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2} +\frac{1}{2}} = 3^1 = 3 $$
    ¡Caramba! , \( 3^{\frac{1}{2}} \) aplicando las reglas de potencias satisface la definición de \( \sqrt{2} \).
  • Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes

    Imaginemos que se me ocurre poner \( \left(3^{\frac{1}{5}}\right)^5 \) que, en principio, es dudoso que signifique algo. Pero como no pienso y solo aplico las reglas …
    $$ \left(3^{\frac{1}{5}}\right)^5 = 3^{\frac{1}{5}· 5} = 3^{\frac{5}{5}} = 3^1 = 3 $$
    ¿Caramba? , \( 3^{\frac{1}{5}} \) aplicando las reglas de potencias satisface la definición de \( \sqrt[5]{3} \).
  • No solo por esto, pero te aseguro que esta notación consistente en muchos contextos. Eso no lo voy a comprobar ahora, pero te aseguro que eso es lo importante. Conclusión:

    \( a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \), porque funciona