De fracción a decimal y de decimal a fracción …

Ya tenemos dos entradas previas que nos ayudarán a entender lo que aquí vamos a decir ( ¿Los números irracionales? y La locura del infinito, el chorizo y los dientes del Lazarillo de Tormes ). Así que quizá ahora entiendas lo que antes te aprendiste como un mercachifle.

De fracción a decimal

Recuerda que primero fueron las razones, lo que tú y yo llamamos hoy fracciones y tus padres o, tal vez tus abuelos llamaron quebrados.

Recuerda ( ¿Los números irracionales?) que los decimales aparecieron 1900 años después de los números irracionales.

Así que parece lógico empezar a pensar cómo serán las fracciones si las pasamos a número decimal (ese nuevo habitante del planeta de los números).
Así que sitúate. ¿Sabes lo que es una fracción? Cociente de dos números enteros.
Y un cociente números enteros lo podemos entender perfectamente como un reparto. Así que nadie tiene que temblar si le preguntan:

¿Qué resto se puede obtener en una división cuyo dividendo es 7?

Que traducido a román paladino te he preguntado:

Si tienes que repartir algo entre 7 personas, cuántas cosas o trozos te podrían sobrar?

La respuesta es obvia:

  • Podría no sobrarme nada y el resto sería 0.
  • Podría sobrarme una cosa o un trozo y el resto sería 1
  • Podrían sobrarme 6 cosas o trozos y el resto sería 6
  • Nunca podrían sobrarme más de 6 cosas o trozos porque esto significa que no he terminado de repartir

Sigamos pensando, ahora en la forma de dividir que te enseñaron en la escuela y observa que, entonces, al hacer una división entre 7, si quieres sacar decimales, tú mismo sabes cuándo va a terminar tu división. ¿Lo has pensado?

  • Si te sale un resto de 0, se acabó
  • Si te sale un resto entre el 1 y el 6, sigues dividiendo para obtener un nuevo resto
  • Pero este proceso no es infinito, porque si nunca sale un 0, como máximo tendrás que sacar 7 restos para llegar a la conclusión de que alguno de ellos se ha repetido. ¿Te das cuenta?
  • Ahora sigue pensando conmigo y veras que sólo hay dos opciones:
    1. Que el primer resto que te salió sea el primero que se repita. Y a partir de aquí, todo empieza otra vez a repetirse de la misma manera y con la misma secuencia desde el principio. Mirando a los decimales eso quiere decir que todos los decimales se repiten igual desde el primero y, por tanto, tenemos un número periódico puro
    2. Que el primer resto que salió no sea el primero que se repita sino que sea otro que salió después. A partir de ese momento todo se repetirá de la misma forma y los primeros restos que no se repitieron se quedarán solos y avandonados al principio. Mirando a los decimales verás que lo que has obtenido es un número periódico mixto

Así que acabamos de concluir (¿tú también?), que al hacer una división entre 7:

  • O se acaba porque da resto cero y el número resultante tendrá un número finito de decimales (0,1,2,3,4,5 ó 6)
  • Nunca salga resto 0 y la división no se acabe pero entonces, llegará un momento, nunca más allá del séptimo decimal, en el que las cosas se repitan. Si lo hacen desde el primero, tendremos un periódico puro, si lo hacen desde otro decimal un poco más adelante, un periódico mixto
  • Para los que se están pasando de listos, yo también sé que no puedo obtener un número periódico misto al dividir por 7, pero eso es más complicado de saber por qué y lo que me interesa ahora es otra cosa

Pero te darás cuenta de que eso pasa con cualquier fracción. ¿Qué pasará si tu profe, que es un puñetero, te manda una división entre 1343 y te dice que saque decimales hasta que la acabes? Don’t worry. En el peor de los casos tendrás que sacar 1343 decimales, y eso, es mucho menos que no acabar nunca. En un par de horas o tres lo acabas seguro si tienes la mala suerte de que ningún resto se repite hasta que te hayan salido todos desde el 1 al 1342


Conclusión: Toda fracción, al ponerla en forma decimal, o se acaban los decimales (decimal finito) o antes o después se repiten (periódico puro o mixto según se repitan todos desde el principio o desde alguno más atrás.

Si crees que lo has entendido deberías tener claro que la clave está en el resto y nunca en el cociente. Así que estoy seguro de que si ves un número con muchos decimales iguales, nunca concluirás de manera automática que es periódico, ¿verdad?

Por ejemplo: 3’22222222222222245738… no es periódico, y si no cabe en tu calculadora y es el resultado de alguna operación, tal vez te salga algo como esto: 3’222222222.
Conclusión, no te fíes del todo de tu calculadora, y si no, mira el Teorema de Jorge de los números grandes

De decimal a fracción

Bueno, ahora veamos la cuestión desde el otro lado.

Fabricar números decimales es como hacer churros. Son tan fáciles de hacer que algunos hasta se pasan de frenada y, como no piensan ( La locura del infinito, el chorizo y los dientes del Lazarillo de Tormes ), hasta inventan cosas inexistentes.

Vale, me explico:

  • ¿Qué es mayor \( 1’\;\overline{3}\;7 \text{ ó } 1’\;\overline{3}\;8\)?

    Si te has dado cuenta que la pregunta tiene trampa y que ninguno de esos dos números existe de verdad, es un buen comienzo. si te he “colado un gol”, hay que parar y empezar otra vez con la magia del infinito.

    ¡Si el periodo indica que no se para nunca de poner treses, cuándo vamos a poner el siete o el ocho del fina?

  • ¿Que pasa si a \( 1’\;\overline{3} \) lo multiplico por 10?

    El primero de los treses de los decimales se adelanta un lugar y aparece: \( 13’\;\overline{3} \).

    Técnicamente, he quitado un tres de los de después de la coma. Por tanto, ¿me queda un tres menos que antes?

    La respuesta es NO. Había un \( \aleph_{0} \) de treses después de la coma y sigue habiendo los mismos.

Nuestro objetivo ahora va a ser intentar ver que todo número con un número finito de decimales, con decimal periódico puro o con decimal periódico mixto, se puede poner en forma de fracción.

  • La tontería de poner un número decimal finito en forma de fracción, en mi pueblo lo tratan como un problema de 6º de Primaria (fracciones equivalentes:
    $$ 3’45625 = \frac{3’45625}{1} = \frac{34’5625}{10} = … = \frac{345625}{100000}$$
  • Veamos ahora qué pasa con un número periódico puro. Pero, o te empapas de la magia del infinito, o no entenderás nada. Recuerda lo visto antes y entonces tiene sentido hacer:
    $$ Sea \, x =1’\;333333\dots \\
    \left. \begin{array}{ccl}
    10 x & = & 13’\;333333\dots \\
    x & = & \;1’\;333333\dots \\
    \hline
    9x & = & 12
    \end{array} \right\} \Rightarrow x = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}
    $$

    Si con lo que acabas de leer no eres capaz de hacer lo mismo con cualquier número periódico puro, algo no va bien. Por ejemplo, debería ser facilísimo para ti repetir el proceso con , por ejemplo:
    $$ Sea x =1’\;15151515\dots \\
    \left. \begin{array}{rcl}
    100 x & = & 115’\;151515\dots \\
    x & = & \quad 1’\;151515\dots \\
    \hline
    99x & = & 114
    \end{array} \right\} \Rightarrow x = \frac{114}{99} = \frac{38}{33}
    $$

    Pero, si de verdad lo hubieras entendido, no sería difícil seguir el siguiente razonamiento e inventarte tú otros parecidos:
    $$ Sea x =1’\;15151515\dots \\
    \left. \begin{array}{rcl}
    10000 x & = & 11515’\;151515\dots \\
    x & = & \quad \quad 1’\;151515\dots \\
    \hline
    9999x & = & 11514
    \end{array} \right\} \Rightarrow x = \frac{11514}{9999} = \frac{114}{99} = \frac{38}{33}
    $$

  • ¿Y con los periódicos mixtos?

    O lo intentas por ti mismo y lo consigues, o no sé si vale la pena que te lo aprendas de memoria para olvidarlo inmediatamente. Tan convencido estoy de ello que no me voy a molestar ni en escribirlo. Te pondré un enlace a una página donde esté hecho y te retaré a hacerlo de otro modo…
    De periódico a fracción

¿Y por qué se habla de fracción generatriz? ¿Qué es eso?

Adivina … No te lo vas a creer. Va a ser porque con esa fracción se “genera el número decimal haciendo la división”. Porque es la génesis, la que genera el número.

Pero, además, haremos notar que la fracción generatriz es la más sencilla de todas, la “inicial”, la que está simplificada, …

¡De cajón de madera!