\( \pi \) No tiene unidades

Esta entrada se la dedico a Elena Collado, alumna de 1º de Bach. Porque a veces se siente muy tonta por no entender algo y no se atreve a hablar o preguntar; porque a veces hace un comentario en voz baja, con miedo, pensando que es la única persona del mundo que no sabe y que va a decir una tontería y, gracias a ese comentario, puedo explicar algo que el resto de sus compañeros tampoco entendían pero no se atrevieron a preguntar ni siquiera con los ojos. Esos ojos, los pjos de Elena, que muchas veces le traicionan; que están admirados y preguntando por qué aunque ella tenga miedo a hacerlo por sentirse ridícula.

Esta entrada es para ella y para todos aquellos que, como ella, tienen miedo a ser muy tontos si preguntan y, si lo hiciesen, se darían cuenta de que no es así y, además, aprenderían mucho más.


Probablemente no tengan misterio para ti el lenguaje y las operaciones algebraicas fundamentales:
$$ \frac{2x + 3x^2}{x} = \frac{x· \left(2+3x\right)}{x} = 2+3x $$
¡Felicidades!
Vamos a ver si entiendes algo de lo que haces con cosas, aparentemente, mucho más sencillas:

  • 3 metros, habitualmente lo expresamos así: 3m . “Esto es una multiplicación. Tres veces un metro, tres por un metro. Piénsalo: 3kg , 7l, 8cm, 2 Ghz, …, son simplemente productos
  • 3 metros cuadrados habitualmente lo expresamos así: \( 3m^2\). “Esto es una multiplicación que indica 3 veces \(m^2\), y \(m^2\) es una potencia que indica un metro al cuadrado. No hay ninguna diferencia algebraica entre \( 3 x^2 \, y \, 3 m^2 \)
  • Así que \( \frac{3 x}{x} = 3 \) y \( \frac{3 x}{3} = x \)

No corras, que hay algo que aún no has entendido. Sigue leyendo y no te quedes en la pura rutina formal de las cuentas.

Vamos con un ejemplo real:

  • ¿Cuánto es \( \frac{3 m}{3} \)? La respuesta es 1m. Lo siento, en matemáticas no solemos tener mucho cuidado con ello, pero lee despacio: “tres metros dividido entre 3 es un metro”.

    El resultado no es un número, tiene unidades que dirían los físicos o, hay letras que haríamos en matemáticas. Son 3m, “3 emes” en matemáticas o, tal vez “3 metros en un problema contextualizado.
  • ¿Cuánto es \( \frac{3 m}{1 m} \)? La respuesta es 3. Lo siento otra vez, en matemáticas no solemos tener mucho cuidado con ello, pero lee despacio: “tres metros dividido entre un metro es uno”, pero NO UN METRO. Tres metros entre un metro no tiene unidades (¿?) $$\require{cancel} \frac{3 m }{ 1 m} = \frac{3 \cancel{m} }{ 1 \cancel{m}} = \frac{3}{1} = 3$$.
  • El resultado ahora es un número que no representa mas que 3, sin letra ni unidades (¿3 qué?). Tal vez, podríamos leerlo como “3 veces”o como “el triple”, si observásemos que en \( \frac{3 m}{ 1 m} \) nos podríamos plantear que hay una “razón pitagórica” que indica que el numerador es justo 3 veces el denominador.

\( \pi \) No tiene unidades

Así que vamos a dar “vueltas a la circunferencia”

  • Recuerdas que la longitud de la circunferencia es: \( L = 2\pi · r \) ?
  • En realidad esto significa que, la longitud de la circunferencia “L” es “\( 2\pi\) veces” el radio de la misma. Aproximadamente una circunferencia mide alrededor 6’28 veces lo que mide su radio
  • Si nos plantean que \( \frac{ L}{2 \pi} = r \) podríamos tener, en un caso concreto que, de manera aproximada,
    $$ \frac{ 7’5m}{6’28} = \frac{ 7’5 · m}{6’28} = \frac{7’5}{6’28}·m \approx 1’19 · m = 1’19m $$
    Obviamente, el resultado es la longitud del radio y, por tanto, tiene que tener una unidad (metros en este caso). Desde el punto de vista puramente algebraico y sin contexto real, estamos dividiendo una multiplicación de un número por una letra entre un número. Esto, siempre nos deja la letra.
  • Imaginemos ahora que el planteamiento es: \( \frac{ L}{2 \pi} = r \Rightarrow \frac{L}{r} = 2 \pi \).

    El cociente, en este caso, nos está representando la división entre la Longitud de la circunferencia y el radio de la misma. Obviamente, este cociente no son metros. Este cociente nos indica que, la longitud de la circunferencia es \( 2 \pi \) veces, la longitud del radio.
    $$ \frac{L}{r} = \frac{ 7’5m}{1’19m} = \frac{ 7’5 · m}{ 1’19 · m} = \frac{ 7’5 · \cancel{m}}{ 1’19 · \cancel{m}} = \frac{7’5}{1’19} \approx 6’28 $$

    El 6’28 representa las veces más grande que es L que r.

Y con caramelos

  • Vamos suponer que tenemos 60 caramelos y queremos repartirlos en paquetes de 10 caramelos:
    \( \frac{60}{10} = 6 \) . Respuesta: 6 paquetes de caramelos.
  • Vamos a plantearnos que tenemos 60 caramelos y queremos meterlos en 10 paquetes iguales:

    \( \frac{60}{10} = 6 \) . Respuesta: 6 paquetes paquetes de caramelos.

Planteemos ahora la situación con la hipótesis de que, cuando hablamos de caramelos, tenemos que indicarlo pero que los números sin “unidades”, no indican caramelos. De modo que 60c significa 60 caramelos pero 60 solo significa eso, 60, nunca 60 caramelos.

  • Si tenemos 60 caramelos y queremos repartirlos en paquetes de 10 caramelos:
    $$ \frac{60c}{10c} = \frac{ 60 · c}{10 · c} = \frac{ 60 · \cancel{c}}{10 · \cancel{c}} = 6 $$
    Respuesta:60 caramelos son 6 veces 10 caramelos, por tanto, puedo hacer 6 paquetes.
  • Si tenemos 60 caramelos y queremos meterlos en 10 paquetes iguales:
    $$ \frac{60c}{10} = \frac{ 60 · c}{10} = \frac{ 60}{10}·c = 6·c = 6c $$
    Respuesta: 6c = 6 caramelos.

¿Y si vamos rápido o despacio?

  • Si vamos a una velocidad de 3 kilómetros cada hora durante dos horas, obviamente:
    $$ \frac{ 3km}{h} · 2h = \frac{ 3· km}{h} · 2 · h = \frac{ 3 · km · 2 · h}{h} = \frac{ 6 · km · \cancel{h}}{\cancel{h}} = 6 · km = 6km$$
  • Y si nos ponemos a pensar qué pasa cuando dividimos 6 kilómetros por hora entre 3 kilómetros, tal vez es mejor olvidarnos de pensar, aplicar álgebra pura y dura y luego intentar interpretar el resultado:
    $$ \frac{\frac{ 6km}{h}}{3km} = \frac{\frac{ 6· km}{h}}{3·km} = \frac{ 6 · km}{3 · km · h} = \frac{ 6 · \cancel{km}}{3· \cancel{km} · h} = \frac{2}{h} = 2h^{-1}$$
    ¿Sabrías ahora explicar qué significa esto? ¿Qué sentido tiene? ¿Cómo lo entiendo de verdad?…