Es igual, pero no es lo mismo

Estamos acostumbrados a operar en matemáticas como autómatas programables, creyéndonos una serie de reglas que, en el mejor de los casos, aplicamos cuando es debido y en el peor cuando no lo es.

En general, no nos planteamos que las operaciones matemáticas nacieron de una necesidad real del ser humano. Que la suma puede tener un sentido en muchos contextos de nuestro entorno, lo mismo que la resta, la multiplicación o la división.

Tristemente lo que solemos hacer es aprendernos “canciones sin música” del tipo:

  • “+ por + = +”
  • “+ por – = -“
  • “- por – = +”
  • E indénticamente con la división

Y cosas similares, sin reflexionar para nada en lo que hacemos.

Estoy seguro que si pensamos en lo que es multiplicar y lo que estamos haciendo, nos parecería una verdadera estupidez aprendernos de memoria las reglas de los signos.

  • NO es obvio que si tenemos 3 paquetes de 5 caramelos tenemos 15 caramelos y no hace falta repetir la tontería de “+ por + = +” ?
  • No es obvio que si tenemos 3 deudas de 5 euros cada una y representamos lo que debemos por “-5” , resulta que tenemos \( 3 · \left( -5 \right) \) que, naturalmente es una deuda de 15 euros: -15 ?

Los más avispados se habrán dado cuenta que no he entrado en la más difícil de todas las reglas de los signos con la multiplicación que es la de “- por – = +”, pero prácticamente todos mis alumnos me han oído la explicación y me han escuchado la anécdota de mi madre. Pero eso, será tema de otra entrada específica.


Veamos pues un reto muy complicado con algo muy sencillo:

Todos sabemos que:
$$ -\frac{5}{9} = \frac{-5}{9} = \frac{5}{-9} $$
por la magia de las reglas de los signos. Sin embargo, desde algún punto de vista asociado a la vida, podemos advertir diferencias muy interesantes entre los tres elementos de las igualdades anteriores.

Intentemos inventarnos una historia sencilla para esas operaciones

He aquí el reto. Yo voy a hacer la parte fácil. Te voy a dar ejemplos de contextos reales para los dos primeros casos y dejo en el aire, para que tú te inventes, un caso real que justifique la tercera operación (verás lo difícil que te resulta):

  • \( – \frac{5}{9} \) : Repartimos la Pizza en nueve partes. Cada uno de mis hermanos se llevó un trozo y me dejaron a mi los 5 trozos restantes \( \left( \frac{5}{9} \right) \). Pero me descuidé un momento y me los quitaron, Así que me han quitado \( \frac{5}{9} \) que lo expreso así: \( – \frac{5}{9} \)
  • \( \frac{-5}{9} \) : Mis ocho amigos y yo somos una pandilla muy unidad. Hoy resulta que tenemos una deuda de 5 euros que debemos repartir a partes iguales entre todos, así que, a cada uno le toca un noveno de la deuda, que lo expreso así: \( \frac{deuda}{9} = \frac{-5}{9} \)

  • Te atreves con \( \frac{5}{-9} \) ? Te advierto que no es nada, nada fácil.