Operaciones con funciones

Los números se pueden operar. La suma, resta, multiplicación o división son operaciones binarias, “de dos números”; para realizarlas debemos contar con dos números y, por supuesto, el operador u operación a realizar:
$$ 3 + 5 = 8 \\
3 – 5 = -2 \\
3 * 5 = 15 \\
12 / 4 = 3 $$
Estas son las operaciones más habituales, pero no las únicas. También conocemos operaciones unarias, aquellas que sólo implican al número y al operador. Un ejemplo de estas podía ser “obtener el opuesto de un número”:
$$ \text{El opuesto de 3 es} \, -3 $$

Las funciones son objetos matemáticos que también se pueden operar entre sí. Sobre ellas podemos definir operaciones binarias (las más habituales) , unarias (también bastante comunes), etc…

  • Suma de funciones: Si \( f(x) , g(x) \) son funciones, \( f+g(x) \) es otra función de modo que: \( f+g(a) = f(a) + g(a) \, si \, f(a) \, y \, g(a) \, existen \)

    En este enlace tiene una construcción con Geogebra de la función suma de otras dos: Suma de funciones.
  • Producto de funciones: Si \( f(x) , g(x) \) son funciones, \( f*g(x) \) es otra función de modo que: \( f*g(a) = f(a) * g(a) \, si \, f(a) \, y \, g(a) \, existen \)

    En este enlace tiene una construcción con Geogebra de la función producto de otras dos: Producto de funciones.
  • Cociente de funciones: Si \( f(x) , g(x) \) son funciones, \( f/g(x) \) es otra función de modo que: \( f/g(a) = f(a) / g(a) \, si \, f(a) \, y \, g(a) \, existen \, y \, g(a) \neq 0\)

    En este enlace tiene una construcción con Geogebra de la función cociente de otras dos: Cociente de funciones.
  • Composición de funciones: La composición es una operación nueva. Los números nos se componen unos con otros, sin embargo el concepto de composición de funciones es muy natural.

    Cuando dos funciones actúan de manera secuencial sobre una entrada de forma que, la primera actúa sobre la entrada y la segunda función actúa sobre la salida de la primera, decimos que estamos componiendo la primera función con la segunda. Una composición de funciones es “una cadena de montaje”.

    Si \( f(x) , g(x) \) son funciones, \( f \circ g(x) = f\left( g(x) \right) \) es otra función que llamaremos “g compuesto con f – primero se nombra la función que actúa en primer lugar” de modo que: \( f \circ g(a) = f\left( g(a)\right) \, si \, g(a) \, existe \,y \ f\left(g(a)\right) \, existe \)

    En este enlace tiene una construcción con Geogebra de la función composición otras dos: Composición de funciones.

    Es fácil comprender que la composición de funciones no es una operación commutativa. En general, no da lo mismo que primero actúe una y después la otra que, al revés. Pensemos en una cadena de montaje y la reflexión es obvia.

Como pasaba con los números, con las funciones también podemos definir operaciones unarias:

  • Dada la función \( f(x) \) definimos la función opuesta de \( f(x) \) , \( h(x) = – f(x) \) otra función de modo que: \( h(a) = – f(a) \)

    Como pasaba con los números, la función resta de otras dos puede definirse como la función suma de la primera con la “opuesta de la segunda”.
  • Mucho cuidado con lo que vamos a decir ahora. para no incurrir en errores de notación que nos puede llevar al desastre. Dada una función \( f(x) \) podemos definir \( h(x) = \frac{1}{ f(x)} \) otra función de modo que: \( h(a) = \frac{1}{ f(a)} \, si \, f(a) \, existe \, y \, f(a) \neq 0 \).

    Pero a diferencia de los números en los que la notación \( 3^{-1} = \frac{1}{3} \) y hablábamos del inverso de 3 como de \( \frac{1}{3} \), en el caso de las funciones NO SE PUEDE USAR ESTA NOTACIÓN CON ESE SIGNIFICADO. Jamás \( f^{-1}(x) \) significa lo mismo que \( \frac{1}{f(x)} \)
  • Función inversa de una dada: (aquí si usaremos la notación del exponente -1) Llamamos función inversa de una función \(f(x) \) y la denotaremos por \( h(x) = f^{-1}(x) \) a aquella función que compuesta con \(f(x) \) nos da la función identidad y viceversa; es decir:
    $$ f\circ h(x) = f\circ f^{-1} (x) = x \, \text{ y también } \, h\circ f(x) = f^{-1}\circ f (x) = x $$