¿Fracciones equivalentes?

He comenzado hoy la clase de 2º de ESO haciéndoles dos preguntas «sencillas»:

  • ¿Qué eso de fracciones equivalentes?
  • ¿Dónde me encuentro fracciones equivalentes en la calle?

Pero, como digo siempre, no quiero una explicación de clase de matemáticas, quiero una explicación que fuésemos a dar a una «hipotética persona» que preguntase con un verdadero deseo de aprender y entender lo que hace. Esa persona que, de existir, estaría constantemente en clase preguntando ¿por qué? y ¿para qué? con la mejor intención de las cuestiones, con la intención de saber.

Esa persona que si fuese profesor de matemáticas no podría evitar comenzar por explicar por qué en la Enseñanza Obligatoria se enseñan polinomios si nadie en su sano juicio es capaz de ver polinomios en su entorno. Y, por supuesto, no le dejase el cuerpo llegar a clase a dictar que «dos fracciones son equivalentes si al multiplicar en cruz me da el mismo número o, como se decía en otros tiempos, el producto de medios es igual al producto de extremos», y pasar a hacer ejercicios de repetición para aprobar un examen de lo mismo.

El objetivo de mis preguntas era que mis alumnos pensasen que las fracciones equivalentes están en su entorno habitual y que lo hacen sin saber que están manejándolas pero, lo más triste, que no se han enterado que las explicamos en matemáticas para que les sean útiles cada vez que las ven en su vida real o imaginaria, no con un valor puramente propedeútico o repetitivo.

Que después de pensar llegasen a la conclusión de que, si esas recetas que pone el libro no estuviesen escritas en ningún sito (en algún momento de la historia debió pasar así), ellos mismos hubiesen sido capaces de escribirlas porque responden a ideas de sentido común.

La realidad es que, la enseñanza en España es tan enciclopedista, repetitiva y absurda, que cuando quieres que tu clase vaya por estos derroteros, los alumnos alucinan en colores. Unos, los que de verdad se dan cuenta de lo que haces, abren los ojos con asombro; otros, tristemente la mayoría, cierran los ojos con aburrimiento esperando la receta para repetir el día del examen.

Terminada esta introducción, vamos al título de la entrada. ¿Fracciones equivalentes?

Si uno quiere pensar (no todo el mundo quiere) \( \frac {2}{5} \) podemos manejarlo cada día doscientas veces de cada quinientas que usamos la cabeza: «2 de mis cinco hermanos son chicas», «2 de cada 5 paquetes de galletas que hemos comprado son integrales», «tengo 2 pizzas y somos 5 para comer, así que…!

De hecho, hasta el más torpe de los seres humanos visualiza que, si «2 de cada 5 son …», en caso de haber 10 cosas, estamos hablando de 4, en caso de tener 20 cosas estamos hablando de 8 y, ¡alucina!, en caso de tener 100 cosas estamos hablando de 40 (40%).

Pero, si sabes lo que es una fracción y eres capaz de leer, simplemente leer, no te costará ningún trabajo saber que \( \frac{2}{5} y \frac{3}{5} \) no representan la misma idea. Hasta el más tonto de mi pueblo se da cuenta de esto. Lo que ya no es capaz el más tonto de mi pueblo es, sacar alguna conclusión de esta idea tan simple, ¿o tal vez si?…

  • «Si tuviese que comparar dos fracciones que tienen el mismo denominador, la cosa sería pan comido»
  • Yo puedo escribir una fracción equivalente (equi-valente: que valga lo mismo) a cualquiera que me des, con otro denominador: «2 de cada 7 representa la misma idea que 4 de cada 14»
  • Ergo: ¿Por qué cuando tengo dos fracciones no se me ocurre ponerlas con el mismo denominador para compararlas a golpe de vista?

¡Eureka:
Ya sé comparar \(\frac{3}{7} \, y \, \frac{5}{13} \), Porque:
$$ \frac{3}{7} = \frac{3\cdot 13}{7 \cdot 13} \, \text{ , } \, \frac{5 \cdot 7}{13 \cdot 7} =\frac{5}{13}$$
Si has corrido demasiado piensa en lo que he hecho. He convertido las dos fracciones iniciales en otras dos «equi-valentes» pero con el mismo denominador y, lo he hecho, de la manera más simple que se me ha ocurrido. Así que ahora, compararlas es pan comido:
$$ \begin{array}{l}
Si: \, 3 \cdot 13 = 5 \cdot 7 \, \text{ entonces las fracciones son iguales. NO sucede aquí} \\
Si: \, 3 \cdot 13 > 5 \cdot 7 \, \text{ entonces las primera fracción es mayor. Esto SI} \\
Si: \, 3 \cdot 13 < 5 \cdot 7 \, \text{ entonces la segunda fracción es mayor. NO sucede aquí} \end{array} $$ Ahora solo queda decidir si «has entendido la idea» o has seguido digiriendo de memoria. Porque, yo ahora tengo claro, no sólo si son iguales, sino cuál es mayor, ¿ tal vez multiplicando en cruz?, pero sabiendo lo que hago y por qué lo hago.


Suerte con la próxima receta, quizá la apliques bien o quizá no. De hecho, algunos de mis alumnos de 2º de ESO no estaban seguros si lo de multiplicar en cruz era para saber si eran equivalentes dos fracciones o para dividirlas o para las dos cosas o para ninguna. Creo que esto se estudia el día del examen para, casi seguro, olvidarlo. ¿O no?