Un problema creativo, con los datos justos

El problema que planteo aquí está sacado del   Seminario de problemas para alumnos de ESO y Bachillerato, primera Hoja del curso 2011-2012.


Aprovecho la ocasión para recordar todas las actividades que desde el Departamento de Matemáticas de la Universidad de la Rioja se están haciendo bajo el título de Taller de Creatividad Matemática

Antes de ir a su enunciado, vamos a realizar una taxonomía muy especial de los problemas:
  •  Hay problemas a los que les faltan datos: en estos casos, lo más probable es que no llegemos a una solución concreta, casi segur que encontraremos más de una solución posible. Uno de los más bellos que conozco reza así:
Dos matemáticos se encuentran después de mucho tiempo sin verse: – ¿Cuánto tiempo sin vernos?¿Cómo te ha ido la vida?¿Te casaste, tienes hijos, …?
– Sí, me casé y tengo tres preciosas hijas.
– ¿Qué me dices?¿Y cuántos años tienen?
– El producto de sus edades es 36 y, la suma de las mismas es el número de la casa de enfrente.
 -¿¿?? …¿¿??… Pues he de decirte que me falta un dato.
– ¡Cómo se nota que eres matemático! Ciertamente, con los datos que te he dado, como bien has visto, habría más de una alternativa para el problema. Así que, la que más años tiene, toca el piano.
– Ciertamente, ahora tengo los datos necesarios y las edades son … 
  • Hay problemas a los que les sobran datos: aquí podemos encontrarnos dos modalidades:
    • Aquellos en que los datos que sobran son simplemente redundantes y podrían haberlos omitido porque se deducen de los demás.
    • Aquellos en los que los datos sobrantes son contradictorios con otros y, por tanto, en modo alguno llegaremos a una solución.
      Entran aquí un tipo de “situaciones” de las más famosas en la historia de las matemáticas las demostraciones por reducción al absurdo. Su principio es, suponer un conjunto de datos de partida para llegar a una contradicción. Si el número de datos de partida está controlado y, “tan sólo uno de esos datos” es el que no está contrastado, concluimos que, precisamente ése es el dato que sobra, el que está mal.
      Tal vez la más famosa “demostración” (el más famoso problema por reducción al absurdo partiendo de un dato erróneo) sea la que Euclides recoge para llegar a la conclusión de que hay infinitos números primos.
  • Hay problemas que tienen los datos justos: aunque algunas veces, uno o varios de esos datos pasen desapercibidos y sean esenciales para su resolución. Éste es el caso del problema que enunciamos y explicamos más abajo.
    En un cuadrado ABCD se traza un punto M tal y como indica la figura. El triángulo AMB tiene toda la pinta de ser equilátero, ¿lo es de verdad? 

Precisamente la clave de la resolución de este problema está en que hay un dato que nos dan pero que, muy probablemente no nos planteamos que tenemos que usar. El dato es que se trata de un cuadrado y, aquí os dejo un applet de geogebra para que observéis la importancia de ese dato. Si queréis ver una solución podéis acudir a la página del   Seminario de problemas para alumnos de ESO y Bachillerato  pero, observad que, el dato del cuadrado se usa de forma implícita y no explícita.