El radián, ¿la unidad natural para medir ángulos?!

A pocas personas les llama la atención que una circunferencia esté dividida exactamente en 360 grados sexagesimales. Casi nunca añadimos la palabra “sexagesimales”, pero para lo que ahora voy a contar, resulta necesaria.

Imaginemos una escuela diseñada para pensar y aprender en la que a unos alumnos se les pone delante un círculo y, antes de decirles otra cosa, se les pide que la dividan en “trozos como si fuese un pastel”. Muy probablemente, un cuarto sería un trozo que nos aportarían; tal vez un tercio y, por supuesto, un medio… Pero, ¿alguien se imagina que nos fuesen ha decir \( \frac{1}{360} \) de circunferencia?

 

Curiosamente un grado sexagesimal es \( \frac{1}{360} \) del ángulo total de un círculo o circunferencia, es decir, la \( \frac{1}{360} \) parte de una vuelta completa.  ¿Natural?

 

Cuando uno traza una circunferencia, con una cuerda, por ejemplo, una medida que sí tiene en sus manos es la de “el radio”. Así que,  podría resultar esperable que intentásemos colocar el radio, alrededor de la circunferencia, para ir midiendo “arcos de longitud igual al radio”.

Cada uno de esos arcos que mide un radio, está abarcado por un ángulo cuya medida vamos a decir que es: 1 radián. Natural

 

Cuando seguimos contando radios alrededor de la circunferencia, como puedes observar en el siguiente enlace ( Longitud de la circunferencia ) llegamos a las siguientes conclusiones:

  • Tengo que poner el radio más de 6 veces para completarla. Hoy sabemos que exactamente \( 2 \cdot \pi \) veces.
  • Este hecho no depende del radio de la circunferencia que cojamos. siempre funciona igual.

Luego, por la propia definición de Radián (ángulo que abarca un arco de longitud un radio), concluimos que la “Longitud de la circunferencia es \( 2 \pi \) veces el radio: \( L =  2 \pi r \)